Arithmetische Folge Rechner
Berechnen Sie Glieder, gemeinsame Differenz, Summe und Eigenschaften von arithmetischen Folgen und Reihen mit schrittweisen Lösungen.
Das n-te Glied berechnen mit: aₙ = a₁ + (n − 1)d
Summe der ersten n Glieder berechnen: Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d)
Gemeinsame Differenz aus zwei Gliedern berechnen: d = (aₘ − aₖ) / (m − k)
Anzahl der Glieder berechnen: n = (aₙ − a₁) / d + 1
Ergebnis
Folgeneigenschaften
Folgenglieder
Schrittweise Lösung
Arithmetische Folgen verstehen
Eine arithmetische Folge (auch arithmetische Progression oder AP genannt) ist eine Folge von Zahlen, bei der die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Diese konstante Differenz wird als gemeinsame Differenz bezeichnet und mit d bezeichnet.
Formel des allgemeinen Glieds
Das n-te Glied einer arithmetischen Folge ist:
Wobei a₁ das erste Glied ist, d die gemeinsame Differenz und n die Position des Glieds.
Summe einer arithmetischen Reihe
Die Summe der ersten n Glieder (arithmetische Reihe genannt) kann mit zwei gleichwertigen Formeln berechnet werden:
Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d)
Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)
Die zweite Form ist besonders anschaulich: Die Summe entspricht der Anzahl der Glieder multipliziert mit dem Durchschnitt des ersten und letzten Glieds.
Gemeinsame Differenz
Die gemeinsame Differenz kann aus zwei beliebigen Gliedern berechnet werden:
Wenn d > 0 ist die Folge steigend, wenn d < 0 ist sie fallend, und wenn d = 0 sind alle Glieder gleich (konstante Folge).
Wichtige Eigenschaften
Arithmetisches Mittel
Jedes Glied einer AP (außer dem ersten und letzten) ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um zu überprüfen, ob eine Folge arithmetisch ist.
Konstante zweite Differenz
In einer AP sind die ersten Differenzen alle gleich d. Wenn eine Folge konstante erste Differenzen hat, ist sie arithmetisch. Quadratische Folgen hingegen haben konstante zweite Differenzen.
Lineare Darstellung
Trägt man eine AP gegen die Position auf, ergibt sich eine Gerade mit Steigung d und y-Achsenabschnitt (a₁ − d). Die Formel des allgemeinen Glieds aₙ = dn + (a₁ − d) ist eine lineare Funktion von n.
Der Gauß'sche Summationstrick
Die Summenformel Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 wird dem jungen Gauß zugeschrieben, der berühmt 1 + 2 + ... + 100 = 5050 summierte, indem er Glieder von gegenüberliegenden Enden paarte. Jedes Paar ergibt 101, und es gibt 50 Paare.
Häufige Beispiele
Beispiel 1: Das 20. Glied finden
Folge: 3, 7, 11, 15, ... (a₁ = 3, d = 4)
Formel: a₂₀ = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79
Beispiel 2: Summe der ersten 50 natürlichen Zahlen
Folge: 1, 2, 3, ..., 50 (a₁ = 1, d = 1, n = 50)
Formel: S₅₀ = 50/2 × (1 + 50) = 25 × 51 = 1275
Beispiel 3: Die gemeinsame Differenz finden
Gegeben: a₃ = 10 und a₇ = 26
Formel: d = (26 − 10) / (7 − 3) = 16 / 4 = 4
Erstes Glied: a₁ = a₃ − 2d = 10 − 8 = 2
Beispiel 4: Summe der geraden Zahlen von 2 bis 100
Folge: 2, 4, 6, ..., 100 (a₁ = 2, d = 2, aₙ = 100)
Anzahl der Glieder: n = (100 − 2) / 2 + 1 = 50
Summe: S₅₀ = 50/2 × (2 + 100) = 25 × 102 = 2550
Anwendungen in der Praxis
- Finanzen: Feste Ratenzahlungen, lineare Abschreibung und gleiche periodische Spareinlagen
- Physik: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (die in aufeinanderfolgenden gleichen Zeitintervallen zurückgelegte Strecke bildet eine AP)
- Architektur: Gleichmäßig verteilte Säulen, Treppenstufen mit einheitlicher Steigung und Sitzreihenanordnungen
- Kalendermathematik: Daten, die auf denselben Wochentag fallen (alle 7 Tage), bilden eine AP
- Informatik: Schleifenzähler, Speicheradress- berechnungen und Array-Indizierung
- Musik: Gleichmäßig temperierte Tonintervalle und rhythmische Muster
Referenzen
Die in diesem Rechner verwendeten Formeln und Konzepte basieren auf bewährten mathematischen Prinzipien:
Dieser Rechner berechnet Eigenschaften arithmetischer Folgen mit Standardformeln. Die Ergebnisse dienen Bildungs- und Informationszwecken. Obwohl wir uns um Genauigkeit bemühen, überprüfen Sie bitte wichtige Berechnungen unabhängig.
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