Ableitungsrechner
Berechnen Sie Ableitungen von Funktionen mit Schritt-für-Schritt-Differenzierung und Ableitungsregeln.
Ergebnis
Funktion
Schritt-für-Schritt-Lösung
Grundlegende Ableitungsregeln
Potenzregel
d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
Mit dem Exponenten multiplizieren und die Potenz um eins verringern.
Faktorregel
d/dx [c·f(x)] = c·f'(x)
Konstanten können aus der Ableitung herausgezogen werden.
Summen- / Differenzregel
d/dx [f ± g] = f' ± g'
Jeden Term unabhängig voneinander differenzieren.
Produktregel
d/dx [f·g] = f'·g + f·g'
Ableitung der ersten Funktion mal zweite, plus erste Funktion mal Ableitung der zweiten.
Quotientenregel
d/dx [f/g] = (f'·g − f·g') / g²
„Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch das Quadrat des Nenners."
Kettenregel
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)
Ableitung der äußeren Funktion ausgewertet an der inneren, mal Ableitung der inneren Funktion.
Häufige Ableitungen
| Funktion f(x) | Ableitung f'(x) | Regel |
|---|---|---|
| c (Konstante) | 0 | Konstante |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | Potenz |
| eˣ | eˣ | Exponential |
| ln(x) | 1/x | Logarithmisch |
| sin(x) | cos(x) | Trigonometrisch |
| cos(x) | −sin(x) | Trigonometrisch |
| tan(x) | sec²(x) | Trigonometrisch |
| cot(x) | −csc²(x) | Trigonometrisch |
| sec(x) | sec(x)·tan(x) | Trigonometrisch |
| csc(x) | −csc(x)·cot(x) | Trigonometrisch |
| √x | 1 / (2√x) | Potenz (n=½) |
Durchgerechnete Beispiele
Beispiel 1: Polynom (Potenzregel)
Gesucht: d/dx [4x³ − 2x² + 7x − 5]
Schritt 1: Die Summen-/Differenzregel auf jeden
Term anwenden
Schritt 2: d/dx[4x³] = 12x² (Potenzregel)
Schritt 3: d/dx[−2x²] = −4x (Potenzregel)
Schritt 4: d/dx[7x] = 7, d/dx[−5] = 0
Ergebnis: 12x² − 4x + 7
Beispiel 2: Kettenregel
Gesucht: d/dx [sin(3x²)]
Schritt 1: Äußere Funktion: sin(u), innere: u =
3x²
Schritt 2: d/du[sin(u)] = cos(u) = cos(3x²)
Schritt 3: d/dx[3x²] = 6x
Ergebnis: cos(3x²) · 6x = 6x·cos(3x²)
Beispiel 3: Produktregel
Gesucht: d/dx [x² · eˣ]
Schritt 1: Sei f = x², g = eˣ
Schritt 2: f' = 2x, g' = eˣ
Schritt 3: f'·g + f·g' = 2x·eˣ + x²·eˣ
Ergebnis: eˣ(2x + x²)
Referenzen
Die in diesem Rechner verwendeten Differentiationsregeln und Formeln basieren auf der Standardanalysis aus etablierten Bildungsressourcen:
Dieser Rechner berechnet symbolische Ableitungen mithilfe standardmäßiger Differentiationsregeln. Er unterstützt Polynome, trigonometrische, exponentielle und logarithmische Funktionen. Die Ergebnisse dienen Bildungs- und Informationszwecken. Bitte überprüfen Sie wichtige Berechnungen unabhängig.
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