ggT- und kgV-Rechner

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen mit schrittweisen Lösungen.

Anzahl der Eingaben

Zahl A

Zahl B

ggT und kgV verstehen

Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache sind grundlegende Konzepte der Zahlentheorie mit breiten Anwendungen in Mathematik, Informatik und alltäglicher Problemlösung.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Der ggT von zwei oder mehr ganzen Zahlen ist die größte positive ganze Zahl, die jede der Zahlen ohne Rest teilt. Er wird auch als größter gemeinsamer Faktor bezeichnet.

Beispiel: ggT(12, 18) = 6, weil 6 die größte Zahl ist, die sowohl 12 als auch 18 teilt.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Das kgV von zwei oder mehr ganzen Zahlen ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch jede der Zahlen teilbar ist. Es ist die kleinste Zahl, die in allen ihren Multiplikationstabellen vorkommt.

Beispiel: kgV(4, 6) = 12, weil 12 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist.

Wichtige Beziehung

Für zwei beliebige positive ganze Zahlen a und b:

ggT(a, b) × kgV(a, b) = a × b

Diese Identität bietet eine effiziente Möglichkeit, das kgV zu berechnen, sobald der ggT bekannt ist: kgV(a, b) = (a × b) / ggT(a, b).

Methoden zur Bestimmung des ggT

Euklidischer Algorithmus

Die effizienteste klassische Methode, basierend auf dem Prinzip, dass ggT(a, b) = ggT(b, a mod b):

1. Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere
2. Ersetzen Sie die größere durch den Rest
3. Wiederholen Sie, bis der Rest 0 ist
4. Der letzte Rest ungleich Null ist der ggT

Primfaktorzerlegungsmethode

Verwendet den Fundamentalsatz der Arithmetik:

1. Finden Sie die Primfaktorzerlegung jeder Zahl
2. ggT = Produkt der gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Potenzen
3. kgV = Produkt aller Primfaktoren mit den höchsten Potenzen

Auflistung der Teiler

Ein einfacher Ansatz für kleine Zahlen:

1. Listen Sie alle Teiler jeder Zahl auf
2. Finden Sie die gemeinsamen Teiler
3. Der größte gemeinsame Teiler ist der ggT

Binärer ggT (Stein-Algorithmus)

Ein effizienter Algorithmus, der nur Subtraktion und Bitverschiebungen verwendet:

1. Wenn beide gerade: ggT(a, b) = 2 × ggT(a/2, b/2)
2. Wenn einer gerade: ggT(a, b) = ggT(a/2, b) oder ggT(a, b/2)
3. Wenn beide ungerade: ggT(a, b) = ggT(|a − b|/2, min(a, b))
4. Wiederholen Sie, bis ein Wert 0 ist

Anwendungen in der Praxis

Brüche kürzen: Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren ggT, um auf die kleinste Form zu kürzen
Brüche addieren: Das kgV der Nenner ergibt den kleinsten gemeinsamen Nenner
Terminplanung: Das kgV bestimmt, wann periodische Ereignisse mit unterschiedlichen Zyklen zusammenfallen (z.B. Busfahrpläne, Zahnradrotationen)
Kryptographie: Der ggT ist zentral für den RSA-Algorithmus und die modulare Arithmetik in der Verschlüsselung
Musiktheorie: Gemeinsame rhythmische Muster und Taktarten finden
Fliesenlegen: Der ggT bestimmt die größte quadratische Fliese, die einen rechteckigen Boden perfekt bedecken kann
Informatik: Verwendet in Hashfunktionen, Zufallszahlengeneratoren und Algorithmusentwurf

Referenzen

Die in diesem Rechner verwendeten Algorithmen und Formeln basieren auf bewährten Prinzipien der Zahlentheorie:

Dieser Rechner berechnet ggT und kgV mit dem euklidischen Algorithmus und der Primfaktorzerlegung. Die Ergebnisse dienen Bildungs- und Informationszwecken. Obwohl wir uns um Genauigkeit bemühen, überprüfen Sie bitte wichtige Berechnungen unabhängig. Sehr große Zahlen können Einschränkungen bei der Gleitkommagenauigkeit aufweisen.

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