Lineare Gleichungen Löser

Lösen Sie einzelne lineare Gleichungen oder Gleichungssysteme mit 2 und 3 Unbekannten mit Schritt-für-Schritt-Lösungen.

Gleichungstyp

Geben Sie die Koeffizienten ein für: ax + b = c

2x + 3 = 7

Lineare Gleichungen verstehen

Eine lineare Gleichung ist eine algebraische Gleichung, bei der jeder Term entweder eine Konstante oder das Produkt einer Konstanten und einer einzelnen Variablen ersten Grades ist. Lineare Gleichungen bilden Geraden, wenn sie in einem Koordinatensystem dargestellt werden.

Einzelne lineare Gleichung

Form: ax + b = c

Eine einzelne lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat immer genau eine Lösung (wenn a ≠ 0). Die Lösung wird durch Umstellen nach x gefunden: x = (c − b) / a.

Gleichungssystem mit zwei Gleichungen (2x2)

Form: a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂

Ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten kann eine eindeutige Lösung haben (sich schneidende Geraden), keine Lösung (parallele Geraden) oder unendlich viele Lösungen (identische Geraden). Dieser Rechner verwendet die Cramersche Regel und das Eliminationsverfahren, um die Lösung zu finden.

Gleichungssystem mit drei Gleichungen (3x3)

Form: a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₂x + b₂y + c₂z = d₂, a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten stellt drei Ebenen im dreidimensionalen Raum dar. Die Lösung ist der Punkt, an dem sich alle drei Ebenen schneiden. Dieser Rechner verwendet die Cramersche Regel mit 3x3-Determinanten.

Lösungsverfahren

Cramersche Regel

Verwendet Determinanten der Koeffizientenmatrix, um jede Variable zu berechnen. Für ein 2x2-System:

D = a₁b₂ − a₂b₁
x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D
y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D

Eliminationsverfahren

Eliminiert systematisch Variablen durch Addition/Subtraktion von Gleichungen:

1. Gleichungen multiplizieren, um Koeffizienten anzugleichen
2. Addieren/Subtrahieren, um eine Variable zu eliminieren
3. Die resultierende Gleichung lösen
4. Rücksubstitution, um die übrigen Variablen zu finden

Substitutionsverfahren

Löst eine Variable in Abhängigkeit der anderen auf:

1. Eine Variable in einer Gleichung isolieren
2. In die andere(n) Gleichung(en) einsetzen
3. Die vereinfachte Gleichung lösen
4. Rücksubstitution, um alle Variablen zu finden

Matrixverfahren

Stellt das System als Ax = b dar und löst es mithilfe der Inversen:

1. Die erweiterte Matrix [A|b] aufstellen
2. Zeilenumformungen durchführen (Gaußsches Eliminationsverfahren)
3. Zeilenstufenform erreichen
4. Lösungen aus der reduzierten Matrix ablesen

Häufige Beispiele

Beispiel 1: Einzelne Gleichung

Lösen Sie: 3x + 5 = 14
Schritt 1: 5 von beiden Seiten subtrahieren: 3x = 9
Schritt 2: Beide Seiten durch 3 teilen: x = 3

Beispiel 2: 2x2 System

Lösen Sie: 2x + y = 5 und x − y = 1
Schritt 1: Beide Gleichungen addieren: 3x = 6, also x = 2
Schritt 2: x = 2 in Gleichung 1 einsetzen: 2(2) + y = 5, also y = 1
Lösung: x = 2, y = 1

Beispiel 3: 3x3 System

Lösen Sie: x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 3
Lösung: x = 1, y = 2, z = 3

Referenzen

Die in diesem Rechner verwendeten Methoden und Formeln basieren auf etablierten Prinzipien der linearen Algebra und Mathematik:

Dieser Rechner bietet Lösungen für lineare Gleichungen mit Standardverfahren der Algebra. Die Ergebnisse dienen Bildungs- und Informationszwecken. Obwohl wir auf Genauigkeit achten, überprüfen Sie bitte wichtige Berechnungen unabhängig.

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