Matrixdeterminanten-Rechner
Berechnen Sie die Determinante von 2×2-, 3×3- und 4×4-Matrizen mit schrittweisen Lösungen.
Ergebnis
Determinante (det A)
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Matrixeigenschaften
Typ
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Inverse existiert
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Spur
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Schrittweise Lösung
Matrixdeterminanten verstehen
Die Determinante ist ein skalarer Wert, der aus den Elementen einer quadratischen Matrix berechnet werden kann. Sie kodiert wichtige Eigenschaften der durch die Matrix beschriebenen linearen Transformation, einschließlich der Frage, ob die Matrix invertierbar ist und wie sie Flächen oder Volumina skaliert.
2×2-Determinante
Formel: Für die Matrix [[a, b], [c, d]]
Die 2×2-Determinante stellt die vorzeichenbehaftete Fläche des Parallelogramms dar, das von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird.
3×3-Determinante (Regel von Sarrus)
Formel: Für die Matrix [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]
Dies wird durch Kofaktorentwicklung entlang der ersten Zeile berechnet. Die 3×3-Determinante stellt das vorzeichenbehaftete Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds dar.
4×4-Determinante (Kofaktorentwicklung)
Für größere Matrizen wird die Determinante durch Entwicklung entlang einer beliebigen Zeile oder Spalte mit Kofaktoren berechnet:
Wobei C₁ⱼ = (−1)^(1+j) × M₁ⱼ und M₁ⱼ der Minor ist (Determinante der Untermatrix, die durch Streichen von Zeile 1 und Spalte j entsteht).
Wichtige Eigenschaften von Determinanten
Invertierbarkeit
- Eine Matrix ist invertierbar (nicht singulär) genau dann, wenn det(A) ≠ 0
- Wenn det(A) = 0, ist die Matrix singulär und hat keine Inverse
- det(A⁻¹) = 1 / det(A)
Multiplikative Eigenschaft
- det(AB) = det(A) × det(B)
- det(kA) = k^n × det(A) für eine n×n-Matrix
- det(Aᵀ) = det(A)
Zeilenoperationen
- Das Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante
- Die Multiplikation einer Zeile mit dem Skalar k multipliziert die Determinante mit k
- Das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen ändert die Determinante nicht
Spezielle Matrizen
- det(I) = 1 für die Einheitsmatrix
- Dreiecksmatrix: Die Determinante ist gleich dem Produkt der Diagonaleinträge
- Orthogonale Matrix: det(A) = ±1
Anwendungen von Determinanten
Determinanten haben weitreichende Anwendungen in Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwesen:
- Lösung von Gleichungssystemen: Die Cramersche Regel verwendet Determinanten zur Darstellung von Lösungen linearer Gleichungssysteme
- Fläche und Volumen: Der Absolutwert der Determinante gibt den Skalierungsfaktor der Transformation an (Fläche in 2D, Volumen in 3D)
- Eigenwerte: Werden durch Lösen von det(A − λI) = 0 gefunden, der charakteristischen Gleichung
- Kreuzprodukte: Das Kreuzprodukt von Vektoren im 3D kann mithilfe einer 3×3-Determinante ausgedrückt werden
- Variablenwechsel: Die Jacobi-Determinante tritt in der mehrdimensionalen Analysis beim Koordinatenwechsel auf
Referenzen
Die in diesem Rechner verwendeten Formeln und Methoden basieren auf Standardprinzipien der linearen Algebra:
Dieser Rechner berechnet Matrixdeterminanten mittels Kofaktorentwicklung. Die Ergebnisse dienen Bildungs- und Informationszwecken. Obwohl wir uns um Genauigkeit bemühen, überprüfen Sie bitte wichtige Berechnungen unabhängig. Gleitkommaarithmetik kann bei sehr großen Werten kleine Rundungsdifferenzen verursachen.
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