Wahrscheinlichkeitsrechner
Berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, Kombinationen, Permutationen und bedingte Wahrscheinlichkeit
Falls unbekannt, leer lassen und P(B|nicht A) unten angeben
Ergebnisse
Schritt-für-Schritt-Lösung
Wahrscheinlichkeitsformeln
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignissen quantifiziert. Die Werte reichen von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Im Folgenden sind die grundlegenden Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie aufgeführt.
Grundlegende Wahrscheinlichkeit
- P(A) = günstige Ergebnisse / Gesamtergebnisse
- P(nicht A) = 1 - P(A) — Komplementregel
Mehrere Ereignisse
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) — Additionsregel (Vereinigung)
- P(A ∩ B) = P(A) × P(B) — Wenn A und B unabhängig sind
- P(A ∩ B) = 0 — Wenn A und B sich gegenseitig ausschließen
Bedingte Wahrscheinlichkeit & Satz von Bayes
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) — Bedingte Wahrscheinlichkeit
- P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B) — Satz von Bayes
- P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A) — Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Zählmethoden
- n! = n × (n-1) × ... × 1 — Fakultät
- nCr = n! / [r!(n-r)!] — Kombinationen (Reihenfolge spielt keine Rolle)
- nPr = n! / (n-r)! — Permutationen (Reihenfolge spielt eine Rolle)
Arten von Wahrscheinlichkeitsereignissen
Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst.
- • Zweimal eine Münze werfen
- • Zwei separate Würfel werfen
- • P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse
Zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können.
- • Eine 3 oder eine 5 mit einem Würfel werfen
- • Ein Herz oder ein Pik aus einer Karte ziehen
- • P(A ∩ B) = 0
Abhängige Ereignisse
Das Ergebnis des ersten Ereignisses beeinflusst die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses.
- • Karten ziehen ohne Zurücklegen
- • Gegenstände aus einem Beutel entnehmen ohne Zurücklegen
- • P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
Komplementäre Ereignisse
Das Komplement eines Ereignisses A umfasst alle Ergebnisse, die nicht in A enthalten sind. Beide summieren sich immer zu 1.
- • Kopf erhalten vs. kein Kopf erhalten
- • Regen vs. kein Regen
- • P(A) + P(nicht A) = 1
Häufige Wahrscheinlichkeitsbeispiele
| Experiment | Ereignis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| Münzwurf | Kopf erhalten | 1/2 = 0,5 |
| Einzelner Würfelwurf | Eine 6 würfeln | 1/6 ≈ 0,1667 |
| Einzelner Würfelwurf | Gerade Zahl würfeln | 3/6 = 0,5 |
| Kartenspiel | Ein Ass ziehen | 4/52 ≈ 0,0769 |
| Kartenspiel | Ein Herz ziehen | 13/52 = 0,25 |
| Zwei Würfel | Summe gleich 7 | 6/36 ≈ 0,1667 |
| Zwei Münzwürfe | Beide Kopf | 1/4 = 0,25 |
Referenzen
Die in diesem Rechner verwendeten Formeln und Konzepte basieren auf der etablierten Wahrscheinlichkeitstheorie aus folgenden Quellen:
- Weisstein, Eric W. "Probability." MathWorld — A Wolfram Web Resource
- Weisstein, Eric W. "Bayes' Theorem." MathWorld — A Wolfram Web Resource
- Khan Academy — Wahrscheinlichkeit
- Wikipedia — Wahrscheinlichkeit
- Wikipedia — Satz von Bayes
- Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes (Pishro-Nik, UMass Amherst)
Dieser Rechner liefert mathematische Wahrscheinlichkeitsberechnungen auf Basis von Standardformeln der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Ergebnisse sind auf sechs Dezimalstellen genau. Obwohl wir um Genauigkeit bemüht sind, überprüfen Sie bitte kritische Berechnungen unabhängig. Beachten Sie, dass n-Werte über 170 die Gleitkommagenauigkeit von JavaScript für Fakultäten überschreiten können. Dieses Tool dient Bildungs- und Informationszwecken.
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