Umlaufzeit-Rechner
Berechnen Sie die Umlaufzeit, die große Halbachse und die Masse des Zentralkörpers mit dem dritten Keplerschen Gesetz
Umlaufzeit (T)
Große Halbachse (a)
Zentralkörpermasse (M)
Umlaufgeschwindigkeit (v)
Bahnumfang
Gravitationsparameter (μ)
Über das dritte Keplersche Gesetz
Das dritte Keplersche Gesetz der Planetenbewegung besagt, dass das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten direkt proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse seiner Umlaufbahn ist. In Kombination mit Newtons Gravitationsgesetz ermöglicht dies die Berechnung der Bahnparameter für jeden Körper, der eine zentrale Masse umkreist.
Wichtige Gleichungen
- T² = (4π² / GM) × a³ — Drittes Keplersches Gesetz (Newtonsche Form)
- T = 2π √(a³ / GM) — Umlaufzeit aus großer Halbachse und Masse
- a = ∛(GM T² / 4π²) — Große Halbachse aus Umlaufzeit und Masse
- M = 4π² a³ / (G T²) — Zentralkörpermasse aus Umlaufzeit und großer Halbachse
- v = 2πa / T — Mittlere Umlaufgeschwindigkeit (Kreisbahnnäherung)
Variablen
- T — Umlaufzeit (s)
- a — Große Halbachse (m)
- M — Masse des Zentralkörpers (kg)
- G — Gravitationskonstante (6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²)
- v — Mittlere Umlaufgeschwindigkeit (m/s)
- μ = GM — Gravitationsparameter (m³/s²)
Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung
Erstes Gesetz — Ellipsengesetz
Jeder Planet bewegt sich auf einer elliptischen Bahn, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Die große Halbachse (a) ist die Hälfte des längsten Durchmessers der Ellipse und definiert die Größe der Umlaufbahn.
Zweites Gesetz — Flächensatz
Die Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne überstreicht in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen. Das bedeutet, dass sich ein Planet schneller bewegt, wenn er der Sonne näher ist (im Perihel), und langsamer, wenn er weiter entfernt ist (im Aphel).
Drittes Gesetz — Harmoniegesetz
Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse seiner Umlaufbahn (T² ∝ a³). Dies ist das Gesetz, das dieser Rechner verwendet, um Umlaufzeit, Bahngröße und Zentralkörpermasse in Beziehung zu setzen.
Orbitaldaten des Sonnensystems
Die folgende Tabelle zeigt die Bahnparameter der acht Planeten unseres Sonnensystems und veranschaulicht, wie das dritte Keplersche Gesetz über sehr unterschiedliche Größenordnungen hinweg gilt.
| Planet | Große Halbachse (AE) | Umlaufzeit (Jahre) | Umlaufgeschwindigkeit (km/s) | Exzentrizität |
|---|---|---|---|---|
| Merkur | 0,387 | 0,241 | 47,4 | 0,206 |
| Venus | 0,723 | 0,615 | 35,0 | 0,007 |
| Erde | 1,000 | 1,000 | 29,8 | 0,017 |
| Mars | 1,524 | 1,881 | 24,1 | 0,093 |
| Jupiter | 5,203 | 11,862 | 13,1 | 0,049 |
| Saturn | 9,537 | 29,457 | 9,7 | 0,057 |
| Uranus | 19,191 | 84,011 | 6,8 | 0,046 |
| Neptun | 30,069 | 164,790 | 5,4 | 0,011 |
Bemerkenswerte Umlaufbahnen um die Erde
Niedrige Erdumlaufbahn (LEO)
- • Höhe: 160–2.000 km
- • Umlaufzeit: ~90 min – 2 Stunden
- • Geschwindigkeit: ~7,8 km/s
- • ISS, Hubble, Starlink
Geostationäre Umlaufbahn (GEO)
- • Höhe: ~35.786 km
- • Umlaufzeit: ~23 h 56 min (1 Sterntag)
- • Geschwindigkeit: ~3,1 km/s
- • Wetter- & Kommunikationssatelliten
Mondumlaufbahn
- • Entfernung: ~384.400 km
- • Umlaufzeit: ~27,3 Tage (siderisch)
- • Geschwindigkeit: ~1,0 km/s
- • Natürlicher Satellit der Erde
Referenzen
Die in diesem Rechner verwendeten physikalischen Konstanten und Planetendaten basieren auf etablierten wissenschaftlichen Quellen:
Hinweis: Dieser Rechner geht von Kepler-Zwei-Körper-Bahnen aus und verwendet die mittlere Umlaufgeschwindigkeitsnäherung für Kreisbahnen. Reale Umlaufbahnen werden durch Störungen anderer Körper, relativistische Effekte und Bahnexzentrizität beeinflusst. Die Planetendaten basieren auf den NASA Goddard Planetary Fact Sheets. Gravitationskonstante G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² (NIST CODATA).
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