Relativistische Zeitdilatation Rechner
Berechnen Sie Zeitdilatation, Längenkontraktion und den Lorentz-Faktor bei relativistischen Geschwindigkeiten mit Einsteins spezieller Relativitätstheorie
Schritt-für-Schritt-Lösung
Formeln der speziellen Relativitätstheorie
Einsteins spezielle Relativitätstheorie (1905) zeigt, dass Messungen von Zeit und Raum von der relativen Geschwindigkeit zwischen Beobachter und Objekt abhängen. Wenn sich ein Objekt der Lichtgeschwindigkeit nähert, vergeht die Zeit für es langsamer relativ zu einem ruhenden Beobachter, und seine Länge kontrahiert sich in Bewegungsrichtung.
Lorentz-Faktor
γ = 1 / √(1 − v²/c²)
Der Lorentz-Faktor γ (Gamma) quantifiziert relativistische Effekte. In Ruhe ist γ = 1; er steigt unbegrenzt an, wenn sich v der Lichtgeschwindigkeit c nähert.
Zeitdilatation
Δt = γ × Δt₀
- Δt₀ = Eigenzeit (gemessen von der bewegten Uhr)
- Δt = dilatierte Zeit (gemessen vom ruhenden Beobachter)
- Bewegte Uhren ticken langsamer: Δt ≥ Δt₀
Längenkontraktion
L = L₀ / γ = L₀ × √(1 − v²/c²)
- L₀ = Eigenlänge (im Ruhezustand gemessen)
- L = kontrahierte Länge (vom Beobachter gemessen)
- Objekte, die sich mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegen, erscheinen in Bewegungsrichtung kürzer
Relativistische kinetische Energie
K = (γ − 1) × m₀ × c²
- m₀ = Ruhemasse
- c = Lichtgeschwindigkeit (299.792.458 m/s)
- Bei niedrigen Geschwindigkeiten reduziert sich dies auf die klassische ½mv²
Lorentz-Faktor bei verschiedenen Geschwindigkeiten
| Geschwindigkeit (v/c) | γ (Lorentz-Faktor) | Zeitdilatation | Längenkontraktion |
|---|---|---|---|
| 0,1c (10%) | 1,005 | +0,5% langsamer | 99,5% der Ruhelänge |
| 0,5c (50%) | 1,155 | +15,5% langsamer | 86,6% der Ruhelänge |
| 0,8c (80%) | 1,667 | +66,7% langsamer | 60,0% der Ruhelänge |
| 0,9c (90%) | 2,294 | 2,29× langsamer | 43,6% der Ruhelänge |
| 0,95c (95%) | 3,203 | 3,20× langsamer | 31,2% der Ruhelänge |
| 0,99c (99%) | 7,089 | 7,09× langsamer | 14,1% der Ruhelänge |
| 0,999c (99,9%) | 22,37 | 22,4× langsamer | 4,5% der Ruhelänge |
| 0,9999c (99,99%) | 70,71 | 70,7× langsamer | 1,4% der Ruhelänge |
Anwendungen in der realen Welt
GPS-Satelliten
GPS-Satelliten umkreisen die Erde mit ~14.000 km/h. Die spezielle Relativitätstheorie bewirkt, dass ihre Uhren etwa 7 Mikrosekunden pro Tag verlieren. Kombiniert mit den Effekten der allgemeinen Relativitätstheorie (+45 μs/Tag) müssen Ingenieure eine Nettokorrektur von ~38 μs/Tag für eine genaue Positionsbestimmung anwenden.
Teilchenbeschleuniger
Am Large Hadron Collider erreichen Protonen 0,999999991c (γ ≈ 7.454). Myonen, die in der Atmosphäre bei 0,998c erzeugt werden, leben ~5× länger als in Ruhe, sodass sie die Erdoberfläche erreichen können — eine direkte Bestätigung der Zeitdilatation.
Zwillingsparadoxon
Wenn ein Zwilling mit 0,9c für 10 Jahre (Schiffszeit) reist, kehrt er zurück und findet seinen Erdzwilling ~22,9 Jahre gealtert vor. Dieses Gedankenexperiment, 1911 von Paul Langevin vorgeschlagen, wurde mit Atomuhren in Flugzeugen bestätigt (Hafele-Keating-Experiment, 1971).
Referenzen
Die in diesem Rechner verwendeten Formeln und Daten basieren auf Einsteins spezieller Relativitätstheorie und begutachteten Physik-Ressourcen:
- OpenStax University Physics Vol. 3 — Time Dilation
- HyperPhysics — Time Dilation
- NIST — Fundamental Physical Constants (speed of light)
- Hafele, J. C. & Keating, R. E. (1972). "Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains." Science, 177(4044), 166–168.
- GPS.gov — GPS Accuracy and Relativistic Corrections
- Einstein, A. (1905). "Zur Elektrodynamik bewegter Körper." Annalen der Physik, 322(10), 891–921.
- Taylor, E. F. & Wheeler, J. A. (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity (2nd ed.). W. H. Freeman.
Hinweis: Dieser Rechner verwendet die Gleichungen der speziellen Relativitätstheorie, die von inertialen (nicht beschleunigten) Bezugssystemen und flacher Raumzeit ausgehen. Er berücksichtigt keine allgemein-relativistischen Effekte (Gravitation). Bei alltäglichen Geschwindigkeiten sind die relativistischen Korrekturen vernachlässigbar klein.
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