Binomialwahrscheinlichkeitsrechner
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen in n unabhängigen Versuchen, jeweils mit der gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit p.
P(X = k) — Genau k Erfolge
P(X ≤ k) — Höchstens k Erfolge
P(X ≥ k) — Mindestens k Erfolge
P(X < k) — Weniger als k
P(X > k) — Mehr als k
Verteilungseigenschaften
Mittelwert (μ)
Varianz (σ²)
Standardabweichung (σ)
Schiefe
Wahrscheinlichkeitsverteilung
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|
Formel der Binomialwahrscheinlichkeit
Wobei:
- n = Anzahl der unabhängigen Versuche
- k = Anzahl der Erfolge (der Wert, für den Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten)
- p = Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch
- C(n, k) = der Binomialkoeffizient, auch geschrieben als „n über k" = n! / (k! · (n − k)!)
Was ist eine Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen, wobei jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Sie ist eine der am häufigsten verwendeten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Statistik und bildet die Grundlage für viele reale Wahrscheinlichkeitsprobleme.
Bedingungen für ein Binomialexperiment
- Feste Anzahl von Versuchen (n): Das Experiment besteht aus einer vorbestimmten Anzahl identischer Versuche.
- Zwei Ergebnisse: Jeder Versuch führt entweder zu einem „Erfolg" oder einem „Misserfolg."
- Konstante Wahrscheinlichkeit (p): Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei jedem Versuch gleich.
- Unabhängigkeit: Das Ergebnis eines Versuchs beeinflusst nicht das Ergebnis eines anderen Versuchs.
Beispiele
- Münzwurf: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 fairen Münzwürfen genau 7 Mal Kopf zu erhalten? (n = 10, p = 0,5, k = 7)
- Qualitätskontrolle: Wenn 2 % der Produkte fehlerhaft sind, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Charge von 50 genau 3 fehlerhafte Artikel enthält? (n = 50, p = 0,02, k = 3)
- Medizinische Studien: Wenn eine Behandlung eine Erfolgsrate von 70 % hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 8 von 10 Patienten positiv ansprechen? (n = 10, p = 0,7, k = 8)
- Umfragen: Wenn 60 % der Wähler einen Kandidaten bevorzugen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 15 von 20 zufällig ausgewählten Wählern ihn unterstützen? (n = 20, p = 0,6, k = 15)
Wichtige Eigenschaften der Binomialverteilung
Mittelwert (Erwartungswert)
μ = n · p
Die durchschnittliche Anzahl der Erfolge, die Sie bei vielen Wiederholungen des Experiments erwarten würden.
Varianz
σ² = n · p · (1 − p)
Misst, wie stark die Verteilung um den Mittelwert gestreut ist. Wird maximiert, wenn p = 0,5.
Standardabweichung
σ = √(n · p · (1 − p))
Die Quadratwurzel der Varianz, die ein Streuungsmaß in den gleichen Einheiten wie die Daten liefert.
Schiefe
(1 − 2p) / σ
Wenn p < 0,5 ist die Verteilung rechtsschief; wenn p > 0,5 ist sie linksschief; wenn p = 0,5 ist sie symmetrisch.
Referenzen
Die in diesem Rechner verwendeten Formeln und Konzepte basieren auf etablierter statistischer Theorie:
Hinweis: Dieser Rechner verwendet exakte kombinatorische Formeln für kleine Werte von n und logarithmische Berechnung für größere Werte, um die numerische Genauigkeit zu gewährleisten. Die Ergebnisse werden für die Anzeige gerundet, aber mit voller Gleitkommagenauigkeit berechnet. Überprüfen Sie kritische Berechnungen immer mit professioneller Statistiksoftware.
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