Konfidenzintervall-Rechner

Was ist ein Konfidenzintervall?

Ein Konfidenzintervall (KI) ist ein Wertebereich, der aus Stichprobendaten abgeleitet wird und den wahren Populationsparameter wahrscheinlich enthält. Es quantifiziert die Unsicherheit bei der Schätzung: Anstatt einen einzelnen Punktschätzer anzugeben, liefert ein KI ein Intervall, in dem der Parameter mit einem bestimmten Konfidenzniveau erwartet wird.

Ein 95%-Konfidenzintervall bedeutet beispielsweise, dass bei wiederholter Stichprobenziehung und Berechnung eines KI etwa 95% dieser Intervalle den wahren Populationsmittelwert enthalten würden.

Die Formel

• x̄ = Stichprobenmittelwert
• t_{α/2, n-1} = kritischer Wert aus der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
• s = Stichproben-Standardabweichung
• n = Stichprobenumfang
• s / √n = Standardfehler des Mittelwerts (SE)

Wann Z- vs. t-Verteilung verwenden

Dieser Rechner verwendet die t-Verteilung, die immer gültig ist und sich automatisch der Normalverteilung annähert, wenn der Stichprobenumfang zunimmt.

Wie man ein Konfidenzintervall interpretiert

Ein häufiger Irrtum ist, dass ein 95%-KI bedeutet, dass eine 95%ige Wahrscheinlichkeit besteht, dass der wahre Parameter innerhalb des Intervalls liegt. In der frequentistischen Statistik lautet die korrekte Interpretation:

• Wenn das Experiment viele Male wiederholt würde, würden 95% der berechneten Intervalle den wahren Populationsmittelwert enthalten
• Der wahre Parameter ist ein fester (aber unbekannter) Wert, nicht zufällig
• Ein breiteres Intervall weist auf eine größere Unsicherheit bei der Schätzung hin
• Ein schmaleres Intervall weist auf eine präzisere Schätzung hin

Faktoren, die die Breite eines KI beeinflussen

• Stichprobenumfang (n): Größere Stichproben erzeugen schmalere Intervalle (mehr Präzision)
• Variabilität (s): Geringere Variabilität in den Daten führt zu schmaleren Intervallen
• Konfidenzniveau: Höheres Vertrauen (z.B. 99% vs. 95%) erzeugt breitere Intervalle

Rechenbeispiel

Angenommen, wir messen die Körpergröße (in cm) von 8 zufällig ausgewählten Studenten und erhalten: 165, 170, 168, 172, 175, 169, 171, 174.

• Schritt 1: Stichprobenmittelwert berechnen: x̄ = (165 + 170 + 168 + 172 + 175 + 169 + 171 + 174) / 8 = 170,5
• Schritt 2: Stichproben-Standardabweichung berechnen: s ≈ 3,16
• Schritt 3: Standardfehler berechnen: SE = 3,16 / √8 ≈ 1,118
• Schritt 4: Kritischen t-Wert für 95% Konfidenz mit df = 7 bestimmen: t ≈ 2,365
• Schritt 5: Fehlerspanne berechnen: E = 2,365 × 1,118 ≈ 2,644
• Schritt 6: KI = 170,5 ± 2,644 = (167,856, 173,144)

Wir sind zu 95% sicher, dass der wahre Mittelwert der Körpergröße der Studentenpopulation zwischen etwa 167,86 cm und 173,14 cm liegt.

Quellenangaben

Die in diesem Rechner verwendeten Formeln und Methoden basieren auf etablierter statistischer Theorie aus folgenden Quellen:

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods - Confidence Intervals for the Mean
• Penn State STAT 200 - Confidence Intervals
• Khan Academy - Confidence Intervals
• Devore, J. L. (2015). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9th ed.). Cengage Learning. Kapitel 7: Statistical Intervals Based on a Single Sample.
• Wackerly, D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. (2014). Mathematical Statistics with Applications (7th ed.). Cengage Learning. Kapitel 8: Estimation.