Z-Test-Rechner

Hypothesentests für Populationsmittelwerte und Proportionen durchführen, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt oder die Stichprobengröße groß ist (n ≥ 30).

Testart

Alternativhypothese

Signifikanzniveau (α)

Stichprobenmittelwert (x̄)

Hypothetischer Mittelwert (μ₀)

Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)

Stichprobengröße (n)

Z-Test-Formeln

Einstichproben-Z-Test (Mittelwert)

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Zweistichproben-Z-Test (Mittelwerte)

z = (x̄₁ − x̄₂) / √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)

Einstichproben-Z-Test (Proportion)

z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀) / n)

Zweistichproben-Z-Test (Proportionen)

z = (p̂₁ − p̂₂) / √(p̂(1 − p̂)(1/n₁ + 1/n₂))

wobei p̂ = (x₁ + x₂) / (n₁ + n₂) der gepoolte Stichprobenanteil ist

Was ist ein Z-Test?

Ein Z-Test ist ein statistischer Hypothesentest, der die Standardnormalverteilung verwendet, um festzustellen, ob eine Stichprobenstatistik signifikant von einem hypothetischen Populationsparameter abweicht. Z-Tests werden verwendet, wenn die Populationsvarianz bekannt ist oder die Stichprobengröße groß genug ist (typischerweise n ≥ 30), damit der zentrale Grenzwertsatz sicherstellt, dass die Stichprobenverteilung annähernd normal ist.

Wann einen Z-Test verwenden

Bekannte Standardabweichung der Grundgesamtheit: Die Populations-σ ist bekannt (nicht aus der Stichprobe geschätzt).
Große Stichprobengröße: Wenn n ≥ 30, ist die Stichprobenverteilung des Mittelwerts unabhängig von der Populationsverteilung annähernd normal.
Normalverteilte Grundgesamtheit: Wenn die Grundgesamtheit normalverteilt ist, funktionieren Z-Tests auch bei kleinen Stichprobengrößen gut (vorausgesetzt σ ist bekannt).
Vergleich von Proportionen: Zum Testen von Populationsproportionen bei ausreichend großen Stichproben (np ≥ 5 und n(1−p) ≥ 5).

Z-Test vs. T-Test

Verwenden Sie einen Z-Test, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist. Verwenden Sie einen T-Test, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und aus der Stichprobe geschätzt werden muss. Bei großen Stichproben (n ≥ 30) sind die Z-Verteilung und die T-Verteilung nahezu identisch, sodass beide Tests geeignet sind.

Schritte des Hypothesentests

1. Hypothesen aufstellen

Definieren Sie die Nullhypothese (H₀), die den Status quo repräsentiert, und die Alternativhypothese (H₁), die die zu testende Behauptung darstellt. Wählen Sie einseitig oder zweiseitig basierend auf der Forschungsfrage.

2. Signifikanzniveau wählen

Wählen Sie das Signifikanzniveau α (häufig 0,05). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ abzulehnen, wenn sie tatsächlich wahr ist (Fehler 1. Art).

3. Teststatistik berechnen

Berechnen Sie die Z-Statistik mit der entsprechenden Formel für Ihren Testtyp. Die Z-Statistik misst, wie viele Standardfehler die Stichprobenstatistik vom hypothetischen Parameter entfernt ist.

4. P-Wert bestimmen

Der P-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, eine Teststatistik zu beobachten, die so extrem (oder extremer) wie die berechnete ist, unter der Annahme, dass H₀ wahr ist. Ein kleinerer P-Wert liefert stärkere Evidenz gegen H₀.

5. Entscheidung treffen

Wenn P-Wert ≤ α, lehnen Sie H₀ zugunsten von H₁ ab. Wenn P-Wert > α, kann H₀ nicht abgelehnt werden. Das Nichtablehnen von H₀ beweist nicht, dass sie wahr ist — nur, dass es nicht genügend Evidenz gibt, sie abzulehnen.

Arten von Alternativhypothesen

Zweiseitiger Test

H₁: μ ≠ μ₀

Testet, ob der Parameter vom hypothetischen Wert abweicht (in beide Richtungen). Der Ablehnungsbereich ist auf beide Enden aufgeteilt.

Linksseitiger Test

H₁: μ < μ₀

Testet, ob der Parameter kleiner als der hypothetische Wert ist. Der Ablehnungsbereich liegt im linken Ende.

Rechtsseitiger Test

H₁: μ > μ₀

Testet, ob der Parameter größer als der hypothetische Wert ist. Der Ablehnungsbereich liegt im rechten Ende.

Praktische Beispiele

Qualitätskontrolle: Ein Hersteller testet, ob das mittlere Gewicht von Cerealienpackungen vom beworbenen Gewicht von 500g abweicht, mithilfe eines Einstichproben-Z-Tests mit bekannter Produktions-σ.
Medizinische Forschung: Ein Forscher vergleicht die mittlere Blutdrucksenkung zwischen zwei Medikamentengruppen mithilfe eines Zweistichproben-Z-Tests, wenn die Populationsvarianzen aus früheren großangelegten Studien bekannt sind.
A/B-Tests: Eine Website testet, ob ein neues Design die Konversionsrate (Anteil der Besucher, die sich anmelden) im Vergleich zum aktuellen Design erhöht, mithilfe eines Zweistichproben-Z-Tests für Proportionen.
Politische Umfragen: Ein Meinungsforscher testet, ob der Anteil der Wähler, die einen Kandidaten unterstützen, 50% übersteigt, mithilfe eines Einstichproben-Z-Tests für Proportionen.

Referenzen

Die in diesem Rechner verwendeten Formeln und Methoden basieren auf etablierter statistischer Theorie:

Hinweis: Dieser Rechner verwendet die Standardnormalverteilung (Z-Verteilung) und ist geeignet, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt oder die Stichprobengröße groß ist (n >= 30). Für kleine Stichproben mit unbekannter Populationsvarianz verwenden Sie stattdessen einen T-Test. Überprüfen Sie kritische Berechnungen stets mit professioneller Statistiksoftware.

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Stichprobe 1

Stichprobe 2