Calculadora de Sucesión Aritmética
Calcule términos, diferencia común, suma y propiedades de sucesiones y series aritméticas con soluciones paso a paso.
Encontrar el término n-ésimo usando: aₙ = a₁ + (n − 1)d
Encontrar la suma de los primeros n términos: Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d)
Encontrar la diferencia común a partir de dos términos: d = (aₘ − aₖ) / (m − k)
Encontrar cuántos términos hay: n = (aₙ − a₁) / d + 1
Resultado
Propiedades de la Sucesión
Términos de la Sucesión
Solución Paso a Paso
Comprendiendo las Sucesiones Aritméticas
Una sucesión aritmética (también llamada progresión aritmética o PA) es una sucesión de números en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante. Esta diferencia constante se llama diferencia común, denotada por d.
Fórmula del Término General
El término n-ésimo de una sucesión aritmética es:
Donde a₁ es el primer término, d es la diferencia común y n es la posición del término.
Suma de una Serie Aritmética
La suma de los primeros n términos (llamada serie aritmética) se puede calcular usando dos fórmulas equivalentes:
Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n − 1)d)
Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)
La segunda forma es especialmente intuitiva: la suma es igual al número de términos multiplicado por el promedio del primer y último término.
Diferencia Común
La diferencia común se puede encontrar a partir de dos términos cualesquiera:
Si d > 0 la sucesión es creciente, si d < 0 es decreciente, y si d = 0 todos los términos son iguales (sucesión constante).
Propiedades Clave
Media Aritmética
Cada término en una PA (excepto el primero y el último) es la media aritmética de sus dos vecinos: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2. Esta propiedad se puede usar para verificar que una sucesión es aritmética.
Segunda Diferencia Constante
En una PA las primeras diferencias son todas iguales a d. Si una sucesión tiene primeras diferencias constantes, es aritmética. Las sucesiones cuadráticas, en cambio, tienen segundas diferencias constantes.
Representación Lineal
Graficar una PA contra la posición da una línea recta con pendiente d e intercepto en y de (a₁ − d). La fórmula del término general aₙ = dn + (a₁ − d) es una función lineal de n.
El Truco de Gauss
La fórmula de la suma Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 se atribuye al joven Gauss, quien famosamente sumó 1 + 2 + ... + 100 = 5050 emparejando términos de extremos opuestos. Cada par suma 101, y hay 50 pares.
Ejemplos Comunes
Ejemplo 1: Encontrar el Término 20
Sucesión: 3, 7, 11, 15, ... (a₁ = 3, d = 4)
Fórmula: a₂₀ = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79
Ejemplo 2: Suma de los Primeros 50 Números Naturales
Sucesión: 1, 2, 3, ..., 50 (a₁ = 1, d = 1, n = 50)
Fórmula: S₅₀ = 50/2 × (1 + 50) = 25 × 51 = 1275
Ejemplo 3: Encontrar la Diferencia Común
Dado: a₃ = 10 y a₇ = 26
Fórmula: d = (26 − 10) / (7 − 3) = 16 / 4 = 4
Primer término: a₁ = a₃ − 2d = 10 − 8 = 2
Ejemplo 4: Suma de Números Pares del 2 al 100
Sucesión: 2, 4, 6, ..., 100 (a₁ = 2, d = 2, aₙ = 100)
Número de términos: n = (100 − 2) / 2 + 1 = 50
Suma: S₅₀ = 50/2 × (2 + 100) = 25 × 102 = 2550
Aplicaciones en el Mundo Real
- Finanzas: Pagos a plazos fijos, depreciación lineal y depósitos periódicos iguales de ahorro
- Física: Movimiento uniformemente acelerado (la distancia recorrida en intervalos de tiempo iguales sucesivos forma una PA)
- Arquitectura: Columnas igualmente espaciadas, escalones con elevación uniforme y disposición de filas de asientos
- Matemáticas del calendario: Las fechas que caen el mismo día de la semana (cada 7 días) forman una PA
- Informática: Contadores de bucle, cálculos de direcciones de memoria e indexación de arreglos
- Música: Intervalos de tono igualmente temperados y patrones rítmicos
Referencias
Las fórmulas y conceptos utilizados en esta calculadora se basan en principios matemáticos bien establecidos:
Esta calculadora calcula propiedades de sucesiones aritméticas usando fórmulas estándar. Los resultados son para fines educativos e informativos. Aunque nos esforzamos por la exactitud, verifique los cálculos importantes de forma independiente.
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