Calculadora de Probabilidad Binomial
Calcule la probabilidad de exactamente k éxitos en n ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad p de éxito.
P(X = k) — Exactamente k éxitos
P(X ≤ k) — Como máximo k éxitos
P(X ≥ k) — Al menos k éxitos
P(X < k) — Menos de k
P(X > k) — Más de k
Propiedades de la Distribución
Media (μ)
Varianza (σ²)
Desviación Estándar (σ)
Asimetría
Distribución de Probabilidad
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|
Fórmula de Probabilidad Binomial
Donde:
- n = número de ensayos independientes
- k = número de éxitos (el valor para el cual desea encontrar la probabilidad)
- p = probabilidad de éxito en un solo ensayo
- C(n, k) = el coeficiente binomial, también escrito como "n sobre k" = n! / (k! · (n − k)!)
¿Qué es una Distribución Binomial?
La distribución binomial modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito. Es una de las distribuciones de probabilidad discretas más utilizadas en estadística y es la base de muchos problemas de probabilidad del mundo real.
Condiciones para un Experimento Binomial
- Número fijo de ensayos (n): El experimento consiste en un número predeterminado de ensayos idénticos.
- Dos resultados: Cada ensayo resulta en un "éxito" o un "fracaso."
- Probabilidad constante (p): La probabilidad de éxito es la misma para cada ensayo.
- Independencia: El resultado de un ensayo no afecta el resultado de cualquier otro ensayo.
Ejemplos
- Lanzamiento de moneda: ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 7 caras en 10 lanzamientos de una moneda justa? (n = 10, p = 0.5, k = 7)
- Control de calidad: Si el 2% de los productos son defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que un lote de 50 contenga exactamente 3 artículos defectuosos? (n = 50, p = 0.02, k = 3)
- Ensayos médicos: Si un tratamiento tiene una tasa de éxito del 70%, ¿cuál es la probabilidad de que 8 de 10 pacientes respondan positivamente? (n = 10, p = 0.7, k = 8)
- Encuestas: Si el 60% de los votantes favorecen a un candidato, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 15 de 20 votantes seleccionados al azar lo apoyen? (n = 20, p = 0.6, k = 15)
Propiedades Clave de la Distribución Binomial
Media (Valor Esperado)
μ = n · p
El número promedio de éxitos que se esperaría en muchas repeticiones del experimento.
Varianza
σ² = n · p · (1 − p)
Mide cuán dispersa está la distribución alrededor de la media. Se maximiza cuando p = 0.5.
Desviación Estándar
σ = √(n · p · (1 − p))
La raíz cuadrada de la varianza, que proporciona una medida de dispersión en las mismas unidades que los datos.
Asimetría
(1 − 2p) / σ
Cuando p < 0.5 la distribución está sesgada a la derecha; cuando p > 0.5 está sesgada a la izquierda; cuando p = 0.5 es simétrica.
Referencias
Las fórmulas y conceptos utilizados en esta calculadora se basan en teoría estadística establecida:
Nota: Esta calculadora utiliza fórmulas combinatorias exactas para valores pequeños de n y cálculo logarítmico para valores mayores para mantener la precisión numérica. Los resultados se redondean para la precisión de visualización pero se calculan con precisión completa de punto flotante. Siempre verifique los cálculos críticos con software estadístico profesional.
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