Calculadora de Intervalo de Confianza

¿Qué es un Intervalo de Confianza?

Un intervalo de confianza (IC) es un rango de valores, derivado de datos muestrales, que probablemente contiene el verdadero parámetro poblacional. Cuantifica la incertidumbre inherente en la estimación: en lugar de proporcionar una estimación puntual única, un IC ofrece un intervalo dentro del cual se espera que caiga el parámetro con un nivel de confianza determinado.

Por ejemplo, un intervalo de confianza del 95% significa que si repitieras el proceso de muestreo muchas veces y calcularas un IC cada vez, aproximadamente el 95% de esos intervalos contendrían la verdadera media poblacional.

La Fórmula

• x̄ = media muestral
• t_{α/2, n-1} = valor crítico de la distribución t con n-1 grados de libertad
• s = desviación estándar muestral
• n = tamaño de muestra
• s / √n = error estándar de la media (SE)

Cuándo Usar la Distribución Z vs. t

Esta calculadora utiliza la distribución t, que siempre es válida y se aproxima automáticamente a la distribución normal a medida que aumenta el tamaño de muestra.

Cómo Interpretar un Intervalo de Confianza

Un error común es pensar que un IC del 95% significa que hay una probabilidad del 95% de que el verdadero parámetro se encuentre dentro del intervalo. En la estadística frecuentista, la interpretación correcta es:

• Si el experimento se repitiera muchas veces, el 95% de los intervalos calculados contendrían la verdadera media poblacional
• El verdadero parámetro es un valor fijo (pero desconocido), no aleatorio
• Un intervalo más amplio indica mayor incertidumbre en la estimación
• Un intervalo más estrecho indica una estimación más precisa

Factores que Afectan el Ancho de un IC

• Tamaño de muestra (n): Muestras más grandes producen intervalos más estrechos (mayor precisión)
• Variabilidad (s): Menor variabilidad en los datos conduce a intervalos más estrechos
• Nivel de confianza: Mayor confianza (ej. 99% vs. 95%) produce intervalos más amplios

Ejemplo Resuelto

Supongamos que medimos las alturas (en cm) de 8 estudiantes seleccionados al azar y obtenemos: 165, 170, 168, 172, 175, 169, 171, 174.

• Paso 1: Calcular la media muestral: x̄ = (165 + 170 + 168 + 172 + 175 + 169 + 171 + 174) / 8 = 170.5
• Paso 2: Calcular la desviación estándar muestral: s ≈ 3.16
• Paso 3: Calcular el error estándar: SE = 3.16 / √8 ≈ 1.118
• Paso 4: Encontrar el valor crítico t para un 95% de confianza con gl = 7: t ≈ 2.365
• Paso 5: Calcular el margen de error: E = 2.365 × 1.118 ≈ 2.644
• Paso 6: IC = 170.5 ± 2.644 = (167.856, 173.144)

Tenemos un 95% de confianza en que la verdadera altura media de la población estudiantil se encuentra entre aproximadamente 167.86 cm y 173.14 cm.

Referencias

Las fórmulas y métodos utilizados en esta calculadora se basan en la teoría estadística establecida de las siguientes fuentes:

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods - Confidence Intervals for the Mean
• Penn State STAT 200 - Confidence Intervals
• Khan Academy - Confidence Intervals
• Devore, J. L. (2015). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9th ed.). Cengage Learning. Capítulo 7: Intervalos Estadísticos Basados en una Sola Muestra.
• Wackerly, D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. (2014). Mathematical Statistics with Applications (7th ed.). Cengage Learning. Capítulo 8: Estimación.