Calculateur de déterminant de matrice

Calculez le déterminant de matrices 2×2, 3×3 et 4×4 avec des solutions étape par étape.

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Comprendre les déterminants de matrices

Le déterminant est une valeur scalaire qui peut être calculée à partir des éléments d'une matrice carrée. Il encode des propriétés importantes de la transformation linéaire décrite par la matrice, notamment si la matrice est inversible et comment elle met à l'échelle les aires ou les volumes.

Déterminant 2×2

Formule : Pour la matrice [[a, b], [c, d]]

det(A) = ad − bc

Le déterminant 2×2 représente l'aire signée du parallélogramme formé par les vecteurs colonnes de la matrice.

Déterminant 3×3 (Règle de Sarrus)

Formule : Pour la matrice [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]

det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

Ceci est calculé par développement des cofacteurs le long de la première ligne. Le déterminant 3×3 représente le volume signé du parallélépipède formé par les vecteurs colonnes.

Déterminant 4×4 (Développement par cofacteurs)

Pour les matrices plus grandes, le déterminant est calculé en développant le long d'une ligne ou d'une colonne en utilisant les cofacteurs :

det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃ + a₁₄C₁₄

Où C₁ⱼ = (−1)^(1+j) × M₁ⱼ, et M₁ⱼ est le mineur (déterminant de la sous-matrice formée en supprimant la ligne 1 et la colonne j).

Propriétés clés des déterminants

Inversibilité

Une matrice est inversible (non singulière) si et seulement si det(A) ≠ 0
Si det(A) = 0, la matrice est singulière et n'a pas d'inverse
det(A¹) = 1 / det(A)

Propriété multiplicative

det(AB) = det(A) × det(B)
det(kA) = k^n × det(A) pour une matrice n×n
det(Aᵀ) = det(A)

Opérations sur les lignes

Échanger deux lignes inverse le signe du déterminant
Multiplier une ligne par un scalaire k multiplie le déterminant par k
Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant

Matrices spéciales

det(I) = 1 pour la matrice identité
Matrice triangulaire : le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux
Matrice orthogonale : det(A) = ±1

Applications des déterminants

Les déterminants ont de nombreuses applications en mathématiques, sciences et ingénierie :

Résolution de systèmes d'équations : La règle de Cramer utilise les déterminants pour exprimer les solutions des systèmes d'équations linéaires
Aire et volume : La valeur absolue du déterminant donne le facteur d'échelle de la transformation (aire en 2D, volume en 3D)
Valeurs propres : Trouvées en résolvant det(A − λI) = 0, l'équation caractéristique
Produits vectoriels : Le produit vectoriel de vecteurs en 3D peut être exprimé à l'aide d'un déterminant 3×3
Changement de variables : Le déterminant jacobien apparaît en calcul à plusieurs variables lors du changement de coordonnées

Références

Les formules et méthodes utilisées dans ce calculateur sont basées sur des principes standard d'algèbre linéaire :

Ce calculateur calcule les déterminants de matrices en utilisant le développement par cofacteurs. Les résultats sont fournis à des fins éducatives et informatives. Bien que nous nous efforcions d'être précis, veuillez vérifier les calculs importants de manière indépendante. L'arithmétique en virgule flottante peut introduire de petites différences d'arrondi pour les très grandes valeurs.

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