Calculateur de Probabilité Binomiale
Calculez la probabilité d'obtenir exactement k succès en n essais indépendants, chacun avec la même probabilité p de succès.
P(X = k) — Exactement k succès
P(X ≤ k) — Au plus k succès
P(X ≥ k) — Au moins k succès
P(X < k) — Moins de k
P(X > k) — Plus de k
Propriétés de la distribution
Moyenne (μ)
Variance (σ²)
Écart-type (σ)
Asymétrie
Distribution de probabilité
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|
Formule de probabilité binomiale
Où :
- n = nombre d'essais indépendants
- k = nombre de succès (la valeur pour laquelle vous souhaitez trouver la probabilité)
- p = probabilité de succès lors d'un seul essai
- C(n, k) = le coefficient binomial, également écrit « n parmi k » = n! / (k! · (n − k)!)
Qu'est-ce qu'une distribution binomiale ?
La distribution binomiale modélise le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais indépendants, où chaque essai a la même probabilité de succès. C'est l'une des distributions de probabilité discrètes les plus utilisées en statistique et elle constitue la base de nombreux problèmes de probabilité du monde réel.
Conditions d'une expérience binomiale
- Nombre fixe d'essais (n) : L'expérience consiste en un nombre prédéterminé d'essais identiques.
- Deux résultats : Chaque essai aboutit à un « succès » ou un « échec ».
- Probabilité constante (p) : La probabilité de succès est la même pour chaque essai.
- Indépendance : Le résultat d'un essai n'affecte pas le résultat de tout autre essai.
Exemples
- Lancer de pièce : Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 7 faces en 10 lancers d'une pièce équilibrée ? (n = 10, p = 0.5, k = 7)
- Contrôle qualité : Si 2 % des produits sont défectueux, quelle est la probabilité qu'un lot de 50 contienne exactement 3 articles défectueux ? (n = 50, p = 0.02, k = 3)
- Essais médicaux : Si un traitement a un taux de réussite de 70 %, quelle est la probabilité que 8 patients sur 10 répondent positivement ? (n = 10, p = 0.7, k = 8)
- Sondages : Si 60 % des électeurs soutiennent un candidat, quelle est la probabilité que exactement 15 électeurs sur 20 sélectionnés au hasard le soutiennent ? (n = 20, p = 0.6, k = 15)
Propriétés clés de la distribution binomiale
Moyenne (valeur attendue)
μ = n · p
Le nombre moyen de succès attendu sur de nombreuses répétitions de l'expérience.
Variance
σ² = n · p · (1 − p)
Mesure la dispersion de la distribution autour de la moyenne. Maximisée lorsque p = 0,5.
Écart-type
σ = √(n · p · (1 − p))
La racine carrée de la variance, fournissant une mesure de dispersion dans les mêmes unités que les données.
Asymétrie
(1 − 2p) / σ
Lorsque p < 0,5, la distribution est asymétrique à droite ; lorsque p > 0,5, elle est asymétrique à gauche ; lorsque p = 0,5, elle est symétrique.
Références
Les formules et concepts utilisés dans ce calculateur sont basés sur la théorie statistique établie :
Remarque : Ce calculateur utilise des formules combinatoires exactes pour les petites valeurs de n et un calcul logarithmique pour les valeurs plus grandes afin de maintenir la précision numérique. Les résultats sont arrondis pour l'affichage mais calculés avec une précision complète en virgule flottante. Vérifiez toujours les calculs critiques avec un logiciel statistique professionnel.
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