Calculateur d'intervalle de confiance

Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance ?

Un intervalle de confiance (IC) est une plage de valeurs, dérivée des données d'un échantillon, susceptible de contenir le vrai paramètre de la population. Il quantifie l'incertitude inhérente à l'estimation : plutôt que de fournir une seule estimation ponctuelle, un IC donne un intervalle dans lequel le paramètre devrait se situer avec un niveau de confiance donné.

Par exemple, un intervalle de confiance à 95 % signifie que si vous répétiez le processus d'échantillonnage plusieurs fois et calculiez un IC à chaque fois, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne de la population.

La formule

• x̄ = moyenne de l'échantillon
• t_{α/2, n-1} = valeur critique de la distribution t avec n-1 degrés de liberté
• s = écart-type de l'échantillon
• n = taille de l'échantillon
• s / √n = erreur-type de la moyenne (SE)

Quand utiliser la distribution Z ou t

Ce calculateur utilise la distribution t, qui est toujours valide et se rapproche automatiquement de la distribution normale à mesure que la taille de l'échantillon augmente.

Comment interpréter un intervalle de confiance

Une idée fausse courante est qu'un IC à 95 % signifie qu'il y a 95 % de probabilité que le vrai paramètre se trouve dans l'intervalle. En statistiques fréquentistes, l'interprétation correcte est :

• Si l'expérience était répétée plusieurs fois, 95 % des intervalles calculés contiendraient la vraie moyenne de la population
• Le vrai paramètre est une valeur fixe (mais inconnue), pas aléatoire
• Un intervalle plus large indique une plus grande incertitude dans l'estimation
• Un intervalle plus étroit indique une estimation plus précise

Facteurs qui influencent la largeur d'un IC

• Taille de l'échantillon (n) : Des échantillons plus grands produisent des intervalles plus étroits (plus de précision)
• Variabilité (s) : Une variabilité plus faible dans les données conduit à des intervalles plus étroits
• Niveau de confiance : Un niveau de confiance plus élevé (ex. 99 % vs. 95 %) produit des intervalles plus larges

Exemple détaillé

Supposons que nous mesurions la taille (en cm) de 8 étudiants sélectionnés au hasard et obtenions : 165, 170, 168, 172, 175, 169, 171, 174.

• Étape 1 : Calculer la moyenne de l'échantillon : x̄ = (165 + 170 + 168 + 172 + 175 + 169 + 171 + 174) / 8 = 170,5
• Étape 2 : Calculer l'écart-type de l'échantillon : s ≈ 3,16
• Étape 3 : Calculer l'erreur-type : SE = 3,16 / √8 ≈ 1,118
• Étape 4 : Trouver la valeur critique t pour un niveau de confiance de 95 % avec dl = 7 : t ≈ 2,365
• Étape 5 : Calculer la marge d'erreur : E = 2,365 × 1,118 ≈ 2,644
• Étape 6 : IC = 170,5 ± 2,644 = (167,856 ; 173,144)

Nous sommes confiants à 95 % que la vraie taille moyenne de la population étudiante se situe entre environ 167,86 cm et 173,14 cm.

Références

Les formules et méthodes utilisées dans ce calculateur sont basées sur la théorie statistique établie provenant des sources suivantes :

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods - Intervalles de confiance pour la moyenne
• Penn State STAT 200 - Intervalles de confiance
• Khan Academy - Intervalles de confiance
• Devore, J. L. (2015). Probability and Statistics for Engineering and the Sciences (9e éd.). Cengage Learning. Chapitre 7 : Intervalles statistiques basés sur un seul échantillon.
• Wackerly, D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. (2014). Mathematical Statistics with Applications (7e éd.). Cengage Learning. Chapitre 8 : Estimation.