Calcolatore di Derivate
Calcola le derivate delle funzioni con differenziazione passo dopo passo e regole di derivazione.
Risultato
Funzione
Soluzione Passo dopo Passo
Regole Base di Derivazione
Regola della Potenza
d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
Moltiplica per l'esponente e riduci la potenza di uno.
Regola del Multiplo Costante
d/dx [c·f(x)] = c·f'(x)
Le costanti si estraggono dalla derivata.
Regola della Somma / Differenza
d/dx [f ± g] = f' ± g'
Deriva ogni termine indipendentemente.
Regola del Prodotto
d/dx [f·g] = f'·g + f·g'
Derivata del primo per il secondo, più il primo per la derivata del secondo.
Regola del Quoziente
d/dx [f/g] = (f'·g − f·g') / g²
"Basso per d-alto meno alto per d-basso, tutto diviso per il quadrato di ciò che sta sotto."
Regola della Catena
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)
Derivata della funzione esterna valutata nella funzione interna, per la derivata della funzione interna.
Derivate Comuni
| Funzione f(x) | Derivata f'(x) | Regola |
|---|---|---|
| c (costante) | 0 | Costante |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | Potenza |
| eˣ | eˣ | Esponenziale |
| ln(x) | 1/x | Logaritmica |
| sin(x) | cos(x) | Trigonometrica |
| cos(x) | −sin(x) | Trigonometrica |
| tan(x) | sec²(x) | Trigonometrica |
| cot(x) | −csc²(x) | Trigonometrica |
| sec(x) | sec(x)·tan(x) | Trigonometrica |
| csc(x) | −csc(x)·cot(x) | Trigonometrica |
| √x | 1 / (2√x) | Potenza (n=½) |
Esempi Svolti
Esempio 1: Polinomio (Regola della Potenza)
Trovare: d/dx [4x³ − 2x² + 7x − 5]
Passo 1: Applica la regola della somma/differenza a ogni
termine
Passo 2: d/dx[4x³] = 12x² (regola della potenza)
Passo 3: d/dx[−2x²] = −4x (regola della potenza)
Passo 4: d/dx[7x] = 7, d/dx[−5] = 0
Risultato: 12x² − 4x + 7
Esempio 2: Regola della Catena
Trovare: d/dx [sin(3x²)]
Passo 1: Funzione esterna: sin(u), interna: u =
3x²
Passo 2: d/du[sin(u)] = cos(u) = cos(3x²)
Passo 3: d/dx[3x²] = 6x
Risultato: cos(3x²) · 6x = 6x·cos(3x²)
Esempio 3: Regola del Prodotto
Trovare: d/dx [x² · eˣ]
Passo 1: Sia f = x², g = eˣ
Passo 2: f' = 2x, g' = eˣ
Passo 3: f'·g + f·g' = 2x·eˣ + x²·eˣ
Risultato: eˣ(2x + x²)
Riferimenti
Le regole di differenziazione e le formule utilizzate in questo calcolatore sono basate sul calcolo standard tratto da risorse educative consolidate:
Questo calcolatore calcola derivate simboliche utilizzando regole di differenziazione standard. Supporta polinomi, funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche. I risultati hanno finalità educative e informative. Si prega di verificare i calcoli importanti in modo indipendente.
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