Risolutore di Equazioni Lineari

Risolvi singole equazioni lineari o sistemi di 2 e 3 equazioni lineari con soluzioni passo passo.

Tipo di equazione

Inserisci i coefficienti per: ax + b = c

2x + 3 = 7

Comprendere le equazioni lineari

Un’equazione lineare è un’equazione algebrica in cui ogni termine è una costante o il prodotto di una costante e una singola variabile elevata alla prima potenza. Le equazioni lineari formano rette quando rappresentate graficamente su un piano cartesiano.

Equazione lineare singola

Forma: ax + b = c

Un’equazione lineare singola in una variabile ha sempre esattamente una soluzione (quando a ≠ 0). La soluzione si trova isolando x: x = (c − b) / a.

Sistema di due equazioni (2×2)

Forma: a₁x + b₁y = c₁ e a₂x + b₂y = c₂

Un sistema di due equazioni lineari in due incognite può avere una soluzione unica (rette incidenti), nessuna soluzione (rette parallele) o infinite soluzioni (rette coincidenti). Questo calcolatore usa la Regola di Cramer e il metodo di eliminazione per trovare la soluzione.

Sistema di tre equazioni (3×3)

Forma: a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₂x + b₂y + c₂z = d₂, a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite rappresenta tre piani nello spazio 3D. La soluzione è il punto in cui tutti e tre i piani si intersecano. Questo calcolatore usa la Regola di Cramer con determinanti 3×3.

Metodi di risoluzione

Regola di Cramer

Usa i determinanti della matrice dei coefficienti per risolvere ogni variabile. Per un sistema 2×2:

D = a₁b₂ − a₂b₁
x = (c₁b₂ − c₂b₁) / D
y = (a₁c₂ − a₂c₁) / D

Metodo di eliminazione

Elimina sistematicamente le variabili sommando/sottraendo le equazioni:

1. Moltiplicare le equazioni per uguagliare i coefficienti
2. Sommare/sottrarre per eliminare una variabile
3. Risolvere l’equazione risultante
4. Sostituire all’indietro per trovare le variabili rimanenti

Metodo di sostituzione

Risolve una variabile in funzione delle altre:

1. Isolare una variabile in un’equazione
2. Sostituire nell’altra equazione (o nelle altre)
3. Risolvere l’equazione semplificata
4. Sostituire all’indietro per trovare tutte le variabili

Metodo matriciale

Rappresenta il sistema come Ax = b e risolve usando l’inversa:

1. Scrivere la matrice aumentata [A|b]
2. Eseguire la riduzione per righe (eliminazione di Gauss)
3. Raggiungere la forma a scala per righe
4. Leggere le soluzioni dalla matrice ridotta

Esempi comuni

Esempio 1: Equazione singola

Risolvi: 3x + 5 = 14
Passo 1: Sottrarre 5 da entrambi i lati: 3x = 9
Passo 2: Dividere entrambi i lati per 3: x = 3

Esempio 2: Sistema 2×2

Risolvi: 2x + y = 5 e x − y = 1
Passo 1: Sommare entrambe le equazioni: 3x = 6, quindi x = 2
Passo 2: Sostituire x = 2 nell’equazione 1: 2(2) + y = 5, quindi y = 1
Soluzione: x = 2, y = 1

Esempio 3: Sistema 3×3

Risolvi: x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 3
Soluzione: x = 1, y = 2, z = 3

Riferimenti

I metodi e le formule utilizzati in questo calcolatore si basano su principi consolidati di algebra lineare e algebra:

Questo calcolatore fornisce soluzioni per equazioni lineari utilizzando metodi algebrici standard. I risultati sono a scopo educativo e informativo. Pur cercando la massima precisione, si prega di verificare i calcoli importanti in modo indipendente.

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