Calcolatore di Probabilità Binomiale
Calcola la probabilità di esattamente k successi in n prove indipendenti, ciascuna con la stessa probabilità p di successo.
P(X = k) — Esattamente k successi
P(X ≤ k) — Al massimo k successi
P(X ≥ k) — Almeno k successi
P(X < k) — Meno di k
P(X > k) — Più di k
Proprietà della Distribuzione
Media (μ)
Varianza (σ²)
Deviazione Standard (σ)
Asimmetria
Distribuzione di Probabilità
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|
Formula della Probabilità Binomiale
Dove:
- n = numero di prove indipendenti
- k = numero di successi (il valore per cui si vuole trovare la probabilità)
- p = probabilità di successo in una singola prova
- C(n, k) = il coefficiente binomiale, scritto anche come "n su k" = n! / (k! · (n − k)!)
Cos'è una Distribuzione Binomiale?
La distribuzione binomiale modella il numero di successi in un numero fisso di prove indipendenti, dove ogni prova ha la stessa probabilità di successo. È una delle distribuzioni di probabilità discrete più utilizzate in statistica ed è alla base di molti problemi di probabilità nel mondo reale.
Condizioni per un Esperimento Binomiale
- Numero fisso di prove (n): L'esperimento consiste in un numero predeterminato di prove identiche.
- Due risultati: Ogni prova ha come risultato un "successo" o un "insuccesso".
- Probabilità costante (p): La probabilità di successo è la stessa per ogni prova.
- Indipendenza: L'esito di una prova non influenza l'esito di nessun'altra prova.
Esempi
- Lancio della moneta: Qual è la probabilità di ottenere esattamente 7 teste in 10 lanci di una moneta equa? (n = 10, p = 0,5, k = 7)
- Controllo qualità: Se il 2% dei prodotti è difettoso, qual è la probabilità che un lotto di 50 contenga esattamente 3 articoli difettosi? (n = 50, p = 0,02, k = 3)
- Studi clinici: Se un trattamento ha un tasso di successo del 70%, qual è la probabilità che 8 pazienti su 10 rispondano positivamente? (n = 10, p = 0,7, k = 8)
- Sondaggi: Se il 60% degli elettori favorisce un candidato, qual è la probabilità che esattamente 15 su 20 elettori selezionati casualmente lo sostengano? (n = 20, p = 0,6, k = 15)
Proprietà Chiave della Distribuzione Binomiale
Media (Valore Atteso)
μ = n · p
Il numero medio di successi che ci si aspetta dopo molte ripetizioni dell'esperimento.
Varianza
σ² = n · p · (1 − p)
Misura quanto la distribuzione è dispersa intorno alla media. È massimizzata quando p = 0,5.
Deviazione Standard
σ = √(n · p · (1 − p))
La radice quadrata della varianza, fornisce una misura della dispersione nelle stesse unità dei dati.
Asimmetria
(1 − 2p) / σ
Quando p < 0,5 la distribuzione è asimmetrica a destra; quando p > 0,5 è asimmetrica a sinistra; quando p = 0,5 è simmetrica.
Riferimenti
Le formule e i concetti utilizzati in questo calcolatore si basano sulla teoria statistica consolidata:
Nota: Questo calcolatore utilizza formule combinatorie esatte per piccoli valori di n e calcoli logaritmici per valori più grandi per mantenere l'accuratezza numerica. I risultati sono arrotondati per la precisione di visualizzazione ma calcolati con piena precisione in virgola mobile. Verificare sempre i calcoli critici con software statistico professionale.
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