Primfaktorzerlegung-Rechner
Finden Sie die Primfaktorzerlegung jeder ganzen Zahl, mit Exponenten.
Primfaktoren:
Anzahl der Primfaktoren (mit Vielfachheit):
Anzahl der verschiedenen Primfaktoren:
Was ist die Primfaktorzerlegung?
Die Primfaktorzerlegung ist das Verfahren, eine ganze Zahl in das Produkt der Primzahlen zu zerlegen, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst hat (zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11). So lautet die Primfaktorzerlegung von 360 etwa 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, kompakter geschrieben als 2³ × 3² × 5.
Der Fundamentalsatz der Arithmetik
Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 entweder selbst eine Primzahl ist oder als eindeutiges Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann, bis auf die Reihenfolge der Faktoren. Diese Eindeutigkeit macht die Primfaktorzerlegung so wertvoll: Egal wie man sie berechnet, man erhält stets dieselben Primzahlen und Exponenten. Sie ist die Grundlage vieler Themen der Zahlentheorie, darunter der größte gemeinsame Teiler, das kleinste gemeinsame Vielfache und die moderne Kryptographie.
Wie die Probedivision funktioniert
Dieser Rechner verwendet die Probedivision. Zuerst werden alle Faktoren 2 herausgeteilt, dann werden die ungeraden Teiler 3, 5, 7, … bis zur Quadratwurzel der verbleibenden Zahl getestet. Teilt ein Teiler ohne Rest, wird er erfasst und wiederholt herausgeteilt, um seinen Exponenten zu bestimmen. Bleibt nach dem Testen aller Kandidaten bis zur Quadratwurzel ein Wert größer als 1 übrig, ist dieser Wert selbst prim und der letzte Faktor. Man muss nur bis √n testen, denn hätte n einen Faktor größer als seine Quadratwurzel, wäre der zugehörige Kofaktor bereits darunter gefunden worden.
Tipp: Eine Zahl ist prim, wenn ihr einziger Primfaktor sie selbst ist (zum Beispiel 17 = 17). Quadrate, Kuben und Potenzen zeigen sich deutlich in der Exponentenschreibweise, etwa 64 = 2⁶.
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Hinweis: Dieser Rechner berechnet die Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen mittels Probedivision. Die Ergebnisse folgen dem Fundamentalsatz der Arithmetik und sind im unterstützten Bereich exakt. Dieses Werkzeug dient zu Bildungs- und Informationszwecken.