Fakultät-Rechner
Berechnen Sie die Fakultät (n!) einer Zahl mit exakten Ganzzahl-Ergebnissen.
Geben Sie eine ganze Zahl von 0 bis 10000 ein.
Was ist eine Fakultät?
Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n, geschrieben n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Zum Beispiel ist 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per Definition gilt 0! = 1. Fakultäten wachsen extrem schnell, daher verwendet dieser Rechner exakte Ganzzahlarithmetik, um auch bei großem n den genauen Wert zu liefern.
Wo Fakultäten verwendet werden
- Permutationen: Die Anzahl der Möglichkeiten, n verschiedene Objekte anzuordnen, beträgt n!.
- Kombinationen: Der Binomialkoeffizient C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) zählt, auf wie viele Arten man k aus n auswählen kann.
- Wahrscheinlichkeit & Statistik: Fakultäten erscheinen in Verteilungen wie der Poisson- und Binomialverteilung.
- Reihen & Analysis: Taylor- und Maclaurin-Reihen verwenden Fakultäten in ihren Nennern.
Warum ist 0! = 1?
Die Definition 0! = 1 hält wichtige Formeln konsistent. Es gibt genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen (die leere Anordnung), also sollte die Anzahl 1 sein. Außerdem funktioniert dadurch die rekursive Regel n! = n × (n − 1)! für n = 1, da 1! = 1 × 0! = 1, und die Kombinationsformel C(n, 0) = 1 bleibt gültig.
Wie schnell wachsen Fakultäten?
Fakultäten wachsen schneller als jede Exponentialfunktion. 10! ist bereits 3.628.800, und 20! übersteigt 2,4 Trillionen. Bei 70! hat das Ergebnis rund 100 Stellen. Bei sehr großen Eingaben gibt dieser Rechner die Stellenanzahl und eine Näherung in wissenschaftlicher Notation neben dem exakten Wert an.
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Hinweis: Dieser Rechner berechnet Fakultäten mit exakter Ganzzahlarithmetik. Obwohl wir uns um Genauigkeit bemühen, überprüfen Sie wichtige Berechnungen bitte unabhängig. Dieses Tool dient zu Bildungs- und Informationszwecken und sollte nicht die alleinige Grundlage für akademische oder berufliche Entscheidungen sein.