Calculadora de Producto Escalar
Calcula el producto escalar de dos vectores 2D o 3D y el ángulo entre ellos.
Vector A
Vector B
a · b =
|A| =
|B| =
Ángulo θ =
Los vectores son ortogonales (perpendiculares), porque su producto escalar es 0.
La Fórmula del Producto Escalar
El producto escalar (también llamado producto punto) de dos vectores es la suma de los productos de sus componentes correspondientes. Para los vectores A = (a₁, a₂, a₃) y B = (b₁, b₂, b₃):
- Producto escalar: a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃
- Magnitud de A: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
- Magnitud de B: |B| = √(b₁² + b₂² + b₃²)
- Ángulo: θ = arccos( (a · b) / (|A| · |B|) )
En dos dimensiones simplemente se omite el tercer componente, de modo que a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂.
Significado Geométrico
Geométricamente, el producto escalar es igual a |A| · |B| · cos(θ), donde θ es el ángulo entre los dos vectores. Mide cuánto se extiende un vector en la dirección de otro, por lo que está estrechamente ligado a la idea de proyección: la proyección escalar de A sobre B es (a · b) / |B|.
Consejo: Un producto escalar positivo significa que los vectores apuntan en general en la misma dirección (ángulo < 90°), mientras que un producto escalar negativo significa que apuntan en general en direcciones opuestas (ángulo > 90°).
Ortogonalidad
Dos vectores no nulos son ortogonales (perpendiculares) precisamente cuando su producto escalar es cero. Esto se debe a que cos(90°) = 0, por lo que a · b = |A| · |B| · cos(90°) = 0. La ortogonalidad es un concepto fundamental en geometría, física y álgebra lineal, utilizado para todo, desde definir ejes de coordenadas hasta construir bases ortonormales.
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Nota: Esta calculadora proporciona cálculos matemáticos para productos escalares, magnitudes y ángulos de vectores basados en las fórmulas descritas. Los resultados son precisos a dos decimales. Aunque nos esforzamos por la exactitud, verifique los cálculos importantes de forma independiente. Esta herramienta es para fines educativos e informativos y no debe ser la única base para decisiones académicas o profesionales.