Skalarprodukt-Rechner
Berechnen Sie das Skalarprodukt zweier 2D- oder 3D-Vektoren und den Winkel zwischen ihnen.
Vektor A
Vektor B
a · b =
|A| =
|B| =
Winkel θ =
Die Vektoren sind orthogonal (senkrecht), da ihr Skalarprodukt 0 ist.
Die Skalarprodukt-Formel
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer entsprechenden Komponenten. Für die Vektoren A = (a₁, a₂, a₃) und B = (b₁, b₂, b₃):
- Skalarprodukt: a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃
- Betrag von A: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
- Betrag von B: |B| = √(b₁² + b₂² + b₃²)
- Winkel: θ = arccos( (a · b) / (|A| · |B|) )
In zwei Dimensionen wird die dritte Komponente einfach weggelassen, sodass a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂.
Geometrische Bedeutung
Geometrisch entspricht das Skalarprodukt |A| · |B| · cos(θ), wobei θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Es misst, wie stark ein Vektor in die Richtung eines anderen zeigt, weshalb es eng mit der Projektion verbunden ist: Die skalare Projektion von A auf B ist (a · b) / |B|.
Tipp: Ein positives Skalarprodukt bedeutet, dass die Vektoren grob in dieselbe Richtung zeigen (Winkel < 90°), während ein negatives Skalarprodukt bedeutet, dass sie grob in entgegengesetzte Richtungen zeigen (Winkel > 90°).
Orthogonalität
Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren sind genau dann orthogonal (senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt null ist. Das liegt daran, dass cos(90°) = 0, sodass a · b = |A| · |B| · cos(90°) = 0. Orthogonalität ist ein grundlegendes Konzept in Geometrie, Physik und linearer Algebra und wird von der Definition von Koordinatenachsen bis zum Aufbau orthonormaler Basen verwendet.
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Hinweis: Dieser Rechner liefert mathematische Berechnungen für Skalarprodukte, Beträge und Winkel von Vektoren auf Basis der beschriebenen Formeln. Die Ergebnisse sind auf zwei Dezimalstellen genau. Obwohl wir uns um Genauigkeit bemühen, überprüfen Sie wichtige Berechnungen bitte unabhängig. Dieses Werkzeug dient ausschließlich Bildungs- und Informationszwecken und sollte nicht die alleinige Grundlage für akademische oder berufliche Entscheidungen sein.