Calcolatore del Prodotto Scalare
Calcola il prodotto scalare di due vettori 2D o 3D e l’angolo tra loro.
Vettore A
Vettore B
a · b =
|A| =
|B| =
Angolo θ =
I vettori sono ortogonali (perpendicolari), perché il loro prodotto scalare è 0.
La Formula del Prodotto Scalare
Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti delle loro componenti corrispondenti. Per i vettori A = (a₁, a₂, a₃) e B = (b₁, b₂, b₃):
- Prodotto scalare: a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃
- Modulo di A: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
- Modulo di B: |B| = √(b₁² + b₂² + b₃²)
- Angolo: θ = arccos( (a · b) / (|A| · |B|) )
In due dimensioni la terza componente viene semplicemente omessa, quindi a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂.
Significato Geometrico
Geometricamente, il prodotto scalare è uguale a |A| · |B| · cos(θ), dove θ è l'angolo tra i due vettori. Misura quanto un vettore si estende nella direzione di un altro, motivo per cui è strettamente legato all'idea di proiezione: la proiezione scalare di A su B è (a · b) / |B|.
Suggerimento: Un prodotto scalare positivo significa che i vettori puntano grossomodo nella stessa direzione (angolo < 90°), mentre un prodotto scalare negativo significa che puntano grossomodo in direzioni opposte (angolo > 90°).
Ortogonalità
Due vettori non nulli sono ortogonali (perpendicolari) esattamente quando il loro prodotto scalare è zero. Ciò avviene perché cos(90°) = 0, quindi a · b = |A| · |B| · cos(90°) = 0. L'ortogonalità è un concetto fondamentale in geometria, fisica e algebra lineare, utilizzato per tutto, dalla definizione degli assi coordinati alla costruzione di basi ortonormali.
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Nota: Questo calcolatore fornisce calcoli matematici per prodotti scalari, moduli e angoli di vettori basati sulle formule descritte. I risultati sono accurati fino a due cifre decimali. Pur impegnandoci per l'accuratezza, verifica i calcoli importanti in modo indipendente. Questo strumento è destinato a scopi educativi e informativi e non deve costituire l'unica base per decisioni accademiche o professionali.