Calculateur de Produit Scalaire
Calculez le produit scalaire de deux vecteurs 2D ou 3D et l’angle entre eux.
Vecteur A
Vecteur B
a · b =
|A| =
|B| =
Angle θ =
Les vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires), car leur produit scalaire est 0.
La Formule du Produit Scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de leurs composantes correspondantes. Pour les vecteurs A = (a₁, a₂, a₃) et B = (b₁, b₂, b₃) :
- Produit scalaire : a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃
- Norme de A : |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
- Norme de B : |B| = √(b₁² + b₂² + b₃²)
- Angle : θ = arccos( (a · b) / (|A| · |B|) )
En deux dimensions, la troisième composante est simplement omise, de sorte que a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂.
Signification Géométrique
Géométriquement, le produit scalaire est égal à |A| · |B| · cos(θ), où θ est l'angle entre les deux vecteurs. Il mesure dans quelle mesure un vecteur s'étend dans la direction d'un autre, ce qui le relie étroitement à la notion de projection : la projection scalaire de A sur B est (a · b) / |B|.
Astuce : Un produit scalaire positif signifie que les vecteurs pointent globalement dans la même direction (angle < 90°), tandis qu'un produit scalaire négatif signifie qu'ils pointent globalement dans des directions opposées (angle > 90°).
Orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (perpendiculaires) précisément lorsque leur produit scalaire est nul. Cela vient du fait que cos(90°) = 0, de sorte que a · b = |A| · |B| · cos(90°) = 0. L'orthogonalité est un concept fondamental en géométrie, en physique et en algèbre linéaire, utilisé pour tout, de la définition des axes de coordonnées à la construction de bases orthonormées.
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Remarque : Cette calculatrice fournit des calculs mathématiques de produits scalaires, de normes et d'angles de vecteurs basés sur les formules décrites. Les résultats sont précis à deux décimales près. Bien que nous nous efforcions d'être exacts, veuillez vérifier les calculs importants de manière indépendante. Cet outil est destiné à des fins éducatives et informatives et ne doit pas constituer la seule base de décisions académiques ou professionnelles.