Kreuzprodukt-Rechner
Berechnen Sie das Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren und seinen Betrag.
Gib die Komponenten zweier 3D-Vektoren A und B ein, um das Kreuzprodukt C = A × B zu berechnen, einen Vektor senkrecht zu beiden.
Vektor A
Vektor B
C = A × B =
Betrag |C| =
C steht senkrecht auf A und B.
Die Kreuzprodukt-Formel
Das Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren A = (a₁, a₂, a₃) und B = (b₁, b₂, b₃) ist ein Vektor C = A × B in Determinantenform:
- C_x = a₂·b₃ − a₃·b₂
- C_y = a₃·b₁ − a₁·b₃
- C_z = a₁·b₂ − a₂·b₁
Entsprechend ist A × B die symbolische Determinante der Matrix, deren Zeilen die Einheitsvektoren (i, j, k), die Komponenten von A und die Komponenten von B sind.
Der Betrag ist |C| = √(C_x² + C_y² + C_z²) = |A|·|B|·sin θ, wobei θ der Winkel zwischen A und B ist.
Geometrische Bedeutung
Das Kreuzprodukt erzeugt einen Vektor, der senkrecht (orthogonal) zu beiden Eingangsvektoren steht. Das ist nützlich, um die Normale einer durch zwei Vektoren definierten Ebene zu finden.
Der Betrag des Kreuzprodukts entspricht der Fläche des von A und B aufgespannten Parallelogramms. Wenn A und B parallel sind, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor, da das Parallelogramm zusammenfällt und sin θ = 0 ist.
Die Rechte-Hand-Regel
Die Richtung von A × B wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt: Zeige mit den Fingern der rechten Hand entlang A, krümme sie in Richtung B, und dein Daumen zeigt in die Richtung des resultierenden Vektors C.
Hinweis: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ, das heißt A × B = −(B × A). Das Vertauschen der Reihenfolge der Vektoren kehrt die Richtung des Ergebnisses um.
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Hinweis: Dieser Rechner berechnet das Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren auf Basis der beschriebenen Formeln. Obwohl wir auf Genauigkeit achten, überprüfe wichtige Berechnungen bitte unabhängig. Dieses Werkzeug dient zu Bildungs- und Informationszwecken und sollte nicht die alleinige Grundlage für akademische oder berufliche Entscheidungen sein.