Rechner für geometrische Folgen
Finden Sie ein beliebiges Glied und die Summe einer geometrischen Folge aus erstem Glied und Quotient.
Geben Sie das erste Glied, den Quotienten und die Anzahl der Glieder ein, um das n-te Glied, die Summe der Glieder und die unendliche Summe zu berechnen.
n-tes Glied (aₙ):
Summe der n Glieder (Sₙ):
Unendliche Summe (S∞):
Erste Glieder:
Geometrische Folge vs. geometrische Reihe
Eine geometrische Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, bei der jedes Glied nach dem ersten durch Multiplikation des vorherigen Glieds mit einer festen, von null verschiedenen Zahl, dem Quotienten (r), entsteht. Zum Beispiel ist 2, 6, 18, 54 eine geometrische Folge mit erstem Glied 2 und Quotient 3.
Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Während die Folge die einzelnen Werte auflistet, addiert die Reihe sie, zum Beispiel 2 + 6 + 18 + 54 = 80.
Die Formeln
- n-tes Glied: aₙ = a₁ · r^(n−1)
- Summe der n Glieder (r ≠ 1): Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r)
- Summe der n Glieder (r = 1): Sₙ = a₁ · n
- Unendliche Summe (|r| < 1): S∞ = a₁ / (1 − r)
Beispiel: Mit a₁ = 2, r = 3, n = 4 sind die Glieder 2, 6, 18, 54. Das 4. Glied ist 54 und die Summe S₄ = 80.
Konvergenz
Eine unendliche geometrische Reihe konvergiert nur dann zu einer endlichen Summe, wenn der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist, also wenn |r| < 1. In diesem Fall gilt S∞ = a₁ / (1 − r). Wenn |r| ≥ 1 ist, streben die Glieder nicht gegen null, die Partialsummen wachsen unbegrenzt und die unendliche Reihe divergiert (sie hat keine endliche Summe).
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Hinweis: Dieser Rechner führt mathematische Berechnungen für geometrische Folgen und Reihen anhand der beschriebenen Formeln durch. Obwohl wir uns um Genauigkeit bemühen, überprüfen Sie wichtige Berechnungen bitte unabhängig. Dieses Werkzeug dient ausschließlich Bildungs- und Informationszwecken und sollte nicht die alleinige Grundlage für finanzielle, akademische oder berufliche Entscheidungen sein.